פורום קרנש

הבעיה קרויה על שם שעשועון הטלוויזיה האמריקאי המצליח "Let's Make a Deal" בהנחיית מונטי הול. בסוף התוכנית, מציגים בפנינו שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן יש מכונית פרס, ומאחורי שתי הדלתות האחרות - עזים. מכיוון שאיננו יודעים איזו דלת מסתירה את הפרס, נאלץ לבחור באקראי. אם נבחר בדלת הנכונה, נזכה בפרס; אחרת, לא נקבל דבר.

וזוהי הבעיה:

• לאחר שהצבענו על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, ניגש לאחת משתי הדלתות האחרות ופותח אותה, ומגלה מאחוריה עז. כעת מאפשרים לנו להחליט האם לדבוק בבחירה המקורית שלנו, או לשנות את ההחלטה ולהעדיף במקומה את הדלת האחרונה.

ניתוח הבעיה

ניתוח פשטני של הסיטואציה מציג בפנינו את הדילמה הבאה: מצד אחד, הסיכוי שבחרנו בדלת הנכונה היה 1/3, וברגע הבחירה ברור לנו שמבין שתי הדלתות האחרות לפחות אחת מסתירה עז. אם כך, המנחה שפתח דלת לא גילה לנו שום דבר שלא ידענו, ולכן הסיכויים שהדלת שבחרנו היא הנכונה צריכים להשאר שליש. מצד שני, כעת ישנן שתי דלתות סגורות, ורק אחת מהן מסתירה את הפרס. לכן (אפילו מנקודת המבט של מי שלא יודע על איזו דלת הצבענו), הסיכויים שהפרס נמצא מאחורי אותה דלת הם 1/2. גישה שלישית טוענת שעל הדלת שהמנחה לא פתח לא למדנו דבר - כך שהסיכוי שלה להסתיר את הפרס היה ונשאר 1/3, והסיכוי של הדלת עליה הצבענו אמור להיות 2/3.

כפי שיוסבר בהמשך, בניסוח הזה אין שום דרך לחשב את הסיכויים הנכונים, ועל כן נתגלעו אי-הסכמות בין מי שניסו לחשב אותם בכל זאת . נתבונן בניסוח מדוקדק יותר של הבעיה:

• לאחר שהצבענו על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, מחויב על-פי כללי המשחק לפתוח אחת משתי הדלתות האחרות ולגלות מאחוריה עז. כמקודם, אנחנו צריכים לבחור האם להשאר עם אותה דלת, או להחליף אותה באחרת.

ההבדל בין ניסוח זה של הבעיה לבין הניסוח הקודם הוא בכך שקודם סיפרו לנו שהמנחה פתח דלת וגילה מאחוריה עז, ואילו עכשיו אנחנו למדים שהוא לא פעל סתם כך, אלא היה מחויב לעשות כן. מתברר שאבחנה עדינה זו מספיקה כדי שאפשר יהיה לחשב באופן מדויק את הסיכויים לכך שהפרס מסתתר מאחורי הדלת השנייה: 2/3.

בתנאים אלה, בוודאי שעדיף לעבור לדלת השנייה. לכאורה נדמה שזו תוצאה אבסורדית, שכן (כאמור לעיל) על עצם הקיום של דלת מסתירת-עז שלא בחרנו בה, ידענו ממילא, ואם כך מה חידש המנחה? ומה היתרון שלנו על-פני אורח שהזדמן לאולפן אחרי שהדלת נפתחה (ומבחינתו הסיכויים לכל אחת משתי הדלתות הסגורות שווים)? הסיבה לכדאיות ההחלפה תוסבר בהמשך.

לקריאה נוספת...